如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,且AD平分∠BAC.嘉淇同学先是以A为圆心,任意长为半径画弧,交AD...
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如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,且AD平分∠BAC.嘉淇同学先是以A为圆心,任意长为半径画弧,交AD于点P,交AC于点Q,然后以点C为圆心,AP长为半径画弧,交AC于点M,再以M为圆心,PQ长为半径画弧,交前弧于点N,作*线CN,交BA的延长线于点E.
(1)通过嘉淇的作图方法判断AD与CE的位置关系是 ,数量关系是 ;
(2)求*:AB=AC;
(3)若BC=24,CE=10,求△ABC的内心到BC的距离.
【回答】
(1)AD∥CE,EC=2AD;(2)见解析;(3)r=.
【解析】
(1)由作图方法可知∠DAC=∠ACE,则AD∥CE,根据BC=2BD,可*CE=2AD;
(2)由(1)知△ABD∽△EBC,*出BE=2AB,得AB=AE,又AC=AE,则AB=AC;
(3)设△ABC内心到BC距离为r,可得,即可求出r.
【详解】
(1)∵嘉淇的作图方法可知∠DAC=∠ACE,
∴AD∥CE,
∴△ABD∽△EBC,
∴,
∵AD为边BC上的中线,
∴BC=2BD,
∴CE=2AD,
故*为AD∥CE,EC=2AD;
(2)*:∵AD∥CE,
∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∴∠ACE=∠E,
∴AC=AE,
由(1)知△ABD∽△EBC,
∴,
∴EB=2AB,即AB=AE,
∴AB=AC.
(3)解:∵BC=24,CE=10,
∴BD=12,AD=5,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BD,
设△ABC内心到BC距离为r,
∴,
∴,
∴60﹣12r=13r
∴25r=60,
∴r=.
【点睛】
本题是圆的综合题目,考查了内心的定义、等腰三角形的*质、相似三角形的判定与*质、勾股定理等知识.
知识点:相似三角形
题型:解答题