阅读理解（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识...

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阅读理解

（1）【学习心得】

小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=46°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　   　°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=28°，求∠BAC的数．

小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的*质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．

（3）【问题拓展】

如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求*：∠EFC=∠DFC．

【回答】

【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AC，

∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，

∴∠BDC=∠BAC=23°，

故*是：23°；

（2）*：取BD中点O，连接AO、CO，

在Rt△BAO中，AO=BD，

同理：CO=BD

∴AO=DO=CO=BO，

∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，

∴∠BAC=∠BDC=28°；

（3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，

∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，

∴∠EFC=∠DAC，

同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，

∠DFC=∠CBE，

又∵∠DAC=∠EBC，

∴∠EFC=∠DFC．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题