（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正...

问题详情：

（教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

（问题解决）（1）如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求*：四边形是正方形．

（规律探索）（2）由（问题解决）可知，图①中的为等腰三角形．现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．

（结论应用）（3）在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上．要使四边形为菱形，则___________．

【回答】

（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）

【解析】

（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析*即可．

（2）根据题意*∠QFP=∠FPQ即可解决问题．

（3）由题意*△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．

【详解】

解：（1）*：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADA′=90°，

由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，

∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，

∴四边形AEA′D是矩形，

∵DA=DA′，

∴四边形AEA′D是正方形．

（2）结论：△PQF是等腰三角形．

理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠QFP=∠APF，

由翻折可知，∠APF=∠FPQ，

∴∠QFP=∠FPQ，

∴QF=QP，

∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如图③中，

∵四边形PGQF是菱形，

∴PG=GQ=FQ=PF，

∵QF=QP，

∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m，

∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，

∴∠DQD′=30°，

∵∠D′=90°，

∴，

由翻折可知，，

∴，

∴．

故*为：．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查矩形的*质，正方形的判定和*质，菱形的*质，解直角三角形，等边三角形的判定和*质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题