点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（   ）A．   ...

问题详情：

点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（    ）

A．                   B．                        C．                     D．

【回答】

D

【解析】

根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。

【详解】

根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q

因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值

即当DQ⊥平面ABC时体积最大

所以

所以

设球心为O，球的半径为R，则

 即

解方程得

所以球的表面积为

所以选D

【点睛】

本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。

知识点：空间几何体

题型：选择题