将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1．[*作观察]（1）如图2，作DF⊥AC，垂...

问题详情：

将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的E处，展开如图1．

[*作观察]（1）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，则AB=　   　；

[理解应用]（2）①如图3，设G为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PG、PC．试说明：PG+PC与EG大小关系；

②连接EC，若∠BAC=60°，G为AC中点，且AC=6，求EC长

[拓展延伸]（3）请根据前面的解题经验，解决下面问题：

如图4，在平面直角坐标系中有A（1，4），B（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，当AP﹣BP的值最大时，请在图中标出P点的位置，并直接写出此时P点的坐标为　   　，AP﹣BP的最大值为　   　．

【回答】

【解答】解：【*作观察】解：∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，

∴AD为∠BAC的角平分线，

∴点D到AB和点D到AC的距离相等．

∴S△ABC=AB•DF+•AC•DF=21，

∴•AB•3+×6×3=21，

∴AB=8

故*为：8．

【理解运用】①结论：PG+PC≥EG．

理由：连接PE，如图3所示．

∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，

∴AD为∠BAC的角平分线，AE=AC，

∴PE=PC，

在△PEG中，PE+PG≥EG，

∴PC+PG≥EG．

②连接EC，如图3中．

∵AE=AC，∠BAC=60°，

∴△AEC为等边三角形，

又∵AC=6，

∴EC=AC=6．

【拓展提高】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图4所示．

∵点B和B′关于x轴对称，

∴PB=PB′，P′B′=P′B，

∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，

∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，

∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大．

设直线AB′的解析式为y=kx+b，

∵点B（3，﹣2），

∴点B′（3，2），AB′==2．

将点A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴直线AB′的解析式为y=﹣x+5．

令y=﹣x+5中y=0，则﹣x+5=0，

解得：x=5，

∴点P′（5，0）．

故AP﹣BP的最大值为2，此时P点的坐标为（5，0）．

故*为（5，0），2．

知识点：画轴对称图形

题型：解答题