求*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．

问题详情：

求*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．

【回答】

①当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．

②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何n∈N*都成立．

知识点：推理与*

题型：解答题