为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其...
问题详情：
为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．）
【回答】
（1）根据直方图数据，有
，
解得
．
（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有
，列联表如下：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 10 | 20 | 30 |
非优质树苗 | 60 | 30 | 90 |
合计 | 70 | 50 | 120 |
可得
．
所以，没有99.9％的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．
（3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为
，且X服从二项分布B(4，
)，
；
；
；
；
．
所以X的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
故数学期望EX＝
.
【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布
），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(
)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．
知识点：统计
题型：解答题
