如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,.                 （Ⅰ）求*：平面;（Ⅱ）当的长为何值...

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如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,.                 

（Ⅰ）求*：平面;

（Ⅱ）当的长为何值时,二面角的大小为60°．

【回答】

解：

方法一：（1）*：在中，，，，，

所以.又因为在中，，所以.

由已知条件知，平面，所以.

又，所以平面……6分

（2）过点B作交延长线于，连接.

由平面平面，平面平面，AB⊥BC，

得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．

在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4，EC=

∴∠CFE=60°，由BE∥CF，得∠BEH=60°.又在Rt△BHE中，BE=3，

∴．

由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，

所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．…….12分

方法二：（１）同解法一

（２）如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．

设AB=a（a >0），则C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．从而

设平面AEF的法向量为，由得，

取x=1，则，即.

不妨设平面EFCB的法向量为，

由条件，得，

解得．所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°．…12分

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题