综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着...

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综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的*质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践*作

如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D．

解决向题

（1）在图1中，

①B′D和AC的位置关系为　 　；

②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　 ；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以*，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　 　；

拓展应用

（4）在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　

【回答】

【解答】解：（1）①BD′∥AC．②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；

故*为BD′∥AC，菱形；

（2）①选择②*如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴∠ACB′=∠ACB，

∴∠DAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

∴△AEC是等腰三角形；

∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，

∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形．

②选择①*如下，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∵B′C=BC，

∴B′C=AD，

∴B′E=DE，

∴∠CB′D=∠ADB′，

∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD

∴∠ADB′=∠DAC，

∴B′D∥AC．

（3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；∵∠AB′D+∠ADB′=90°，

∴y﹣30°+y=90°，

②当矩形的长宽之比为：1时，满足条件，此时可以*四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形；

综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；

（4）∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，

∵△AB′D是直角三角形，

当∠B′AD=90°，AB＞BC时，如图3中，

设∠ADB′=∠CB′D=y，

∴∠AB′D=y﹣30°，

解得y=60°，

∴∠AB′D=y﹣30°=30°，

∵AB′=AB=4，

∴AD=×4=4，

∴BC=4，

当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图4，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′=90°，

∴四边形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′=90°，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=4，

∴BC=AB=×4=6；

当∠B′AD=90°，AB＜BC时，如图5，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∵∠B=30°，AB′=4，

∴∠AB′C=30°，

∴AE=4，BE′=2AE=8，

∴AE=EC=4，

∴CB′=12，

当∠AB′D=90°时，如图6，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四边形ACDB′是等腰梯形，

∵∠AB′D=90°，

∴四边形ACDB′是矩形，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=30°，AB=4，

∴BC=AB÷=8；

∴已知当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形．

故*为：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；

【点评】本题考查四边形综合题、翻折变换、矩形的*质、等腰梯形的判定和*质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，本题综合*比较强，属于中考压轴题．

知识点：各地中考

题型：综合题