古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其...

问题详情：

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上至少所需要移动的次数，回答下列问题：

（I）求a1，a2，a3，并写出an的一个递推关系；

（II）记，求和（）；

（提示：）

（III）*：．

【回答】

解：(1)              ………2分

事实上，要将个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面个圆盘转移到B柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有       ………4分

（II）由（1）得：， 

所以                      …………6分

      …………9分

（III）（II）得：

     令，则当时            

又，所以对一切有：

 …………12分

（方法二：，从第四项开始放缩求和）

另方面恒成立，所以对一切有

综上所述有：…

知识点：数列

题型：解答题