“一带一路”让*和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯...

问题详情：

 “一带一路”让*和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A*线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B*线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照*巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．

（1）填空：∠BAN=　   　°；

（2）若灯B*线先转动30秒，灯A*线才开始转动，在灯B*线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A*线到达AN之前．若*出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【回答】

 解：（1）60°………………（2分）

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD=∠BDA，

∵AC∥BD，

∴∠CAM=∠BDA，

∴∠CAM=∠PBD

∴2t=1•（30+t），

解得 t=30；………………（5分）

②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，

∴∠PBD+∠BDA=180°，

∵AC∥BD，

∴∠CAN=∠BDA

∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，

解得  t=110，

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；………………（8分）

（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．………………（9分）

理由：设灯A*线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，

∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，

又∵∠ABC=120°﹣t，

∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，

∴∠BCD=120°﹣∠BCD=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，

∴∠BAC：∠BCD=2：1，

即∠BAC=2∠BCD，

∴∠BAC和∠BCD关系不会变化

知识点：平行线的*质

题型：解答题